Topology

拓樸很難。我上次搞不清楚狀況跑去清華數學所聽演講時，聽到教授說他認為搞拓樸的人都很天才，他年輕時的博士論文，有些問題解不出來，後來某位拓樸學家跳進來一下突破了這個問題，然後又跳出去別的領域了，讓他印象深刻。

可見得拓樸很難。

不過我要抱怨的是點集拓樸，可能程度上又低了很多級。

如果問 Topology 是什麼，可能很直接的回答是，『拓樸學是研究在連續變換下不變的性質!』

不過這麼直接的回答通常是有看沒有懂。不過我想，概略的說，拓樸就是歐基里德空間去掉距離的概念。據 M. Armstrong《Basic Topology》一書的談法，他是從歐基里德空間抽象化推導出拓樸空間的定義。雖然我一點也不懂他是怎麼推出來的，我只覺得他是憑空生出來的。(光只是去掉距離的概念就好抽象喔，唉唉。)

譬如高等微積分裡的 neighborhood，我們是在 metric space 下定義的，d(p,x) < ε。可是在拓樸裡，應為要去掉距離關係，所以不能用這樣的概念定義。而改說，拓樸空間裡，包含 x 的空集合 U 為 x 之 neighborhood。而 limit point 的概念，則改為拓樸包含x 的元素去掉 x 之後和 A 的交集不為空集合，則 x 為 A 的 limit point。

如果說依照 M. Armstrong 的說法來看，I. M. Singer, J. A. Thorpe 的《Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry》的說法不管是定義的方式或者是採取的角度就比較接近從分析出發，一下就講到 limit point。


比較起來 James Munkres 的《Topology》就比較從集合論的角度去講，Order Topology、Product Topology 什麼的，等到提到 limit point 時，差不多一百頁左右了。

而且他的附圖我也看不懂，Order Topology 為什麼長那樣？有什麼意思？真是令我困惑.....。



或許這樣才是比較拓樸的講法吧？


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