理論有什麼用？

理論有什麼用？都在談抽象的東西，除非走學術路線，否則一點幫助也沒有阿！

計算機科學裡有一個領域叫做計算理論，主要是討論問題的可計算性，複雜度分類等等。算是很沒用的抽象理論，因為他們討論的是存在性的問題，而不是建構出解的方法(演算法設計)。

但是，理論真的沒用嗎？M. R. Garey, D. S. Johnson 的《Computers and Intractability》給了個很有趣的例子，說明學習計算理論的好處。


老闆：『小明，我這裡有個重要的問題，但是程式跑得很慢，你設計一個有效率一點的演算法來處理這個問題。』

小明是個專業的研究人員，當然一口答應。但是，後來小明發現怎麼樣都找不出有效率的解法。這時候小明該怎麼辦。

應對的方法有很多種，最簡單的一種就是誠實以告：『老闆，對不起，我找不出有效率的解法，我想是我太笨了。』但通常老闆會說：『好吧，那你回家吃自己吧。』

另一種方法則是證明這個問題是不存在有效率的解法。這個時候，小明就可以理直氣壯的跟老闆說：『這個問題根本就不存在有效率的解法啦。』

不過，很不幸地，證明問題不存在有效率的解法也是很難的一件事。如果証不出來怎麼辦？

還有一個方法是，證明該問題和某些一類問題是等價的，這時候你可以跟老闆說：『抱歉，老闆，我找不出有效率的解法，但是沒關係，因為目前為止都沒有人找得出來。』


真的是很有意思的例子。理論還是很實用的.....^^"

Update: 附帶一題，我不太喜歡這本書的英文寫法，常將副詞用痘號插在子句裡，而子句又不短。意義有點混淆，至少對我這種英文不好的人來說，不是很好讀。


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[Courant] Chapter 4

Courant in Gottingen and New York: The Story of an Improbable Mathematician
By Constance Reid
Book / 314 Pages / Springer-Verlag / January 1976 / 0387901949

Ref:Richard Courant

Courant 寫了一篇很好的博士論文，但是卻讓他有很不好的回憶。甚至，在他的論文註腳中，他也留下了相關的訊息。

Courant 的研究是基於 Hilbert 和 Koebe 之上。但是 Koebe 卻是一個小氣的人，他不希望其他人染指他的研究領域。有一天他們在街上相遇，Koebe 問起 Courant 的研究進展，Courant 也如如實告知。豈知，過了幾天，Koebe 竟然跑過跟他說，他利用不同的方式也做出了相同的結果，而且和他自己之前的研究結果有更強的關聯。

就在下個禮拜，當 Courant 要在 mathematische Gesellschaft 報告他的工作時，Koebe 卻搶先報告了自己的研究結果。由於 Koebe 比 Courant 資深，Courant 當然沒有辦法反對。但是 mathematische Gesellschaft 的成員都很不能認同 Koebe 的做法。

按照慣例，新人，尤其是像 Courant 這樣寫出了一份很好的論文的新人，是有權利優先報告他們的研究成果的。

對於 Koebe 的作為，Courant 的朋友 Hahn，訂做的個不定時的小鬧鐘，放到 Koebe 的課堂上，讓 Koebe 出糗作為報復。事後 Hahn 還在地方報導上提到此事。


在 Hilbert 認可了 Courant 的論文之後，所剩下的只有口試了。然而三位口試委員只來了兩位，一位是 Hilbert，但他認為他對 Courant 的數學能力了解很多，多問無益，就只和他閒話家常；另一位口試委員胡塞爾(Husserl)則珊珊來遲，但在他發問之前，Courant 先問了他關於現象學(Phenomenology)的問題，結果他們就一直聊到口試時間結束；至於另一位口試委員則沒有出現過.....。(註：Phenomenology 就是 Husserl 發明的。)

下一個階段就是 Habilitation，會給予上課的執照如同一位 Privatdozent，且學校不會給薪水，薪水是來自選課的學生的給付。(但後來他又成為 Hilbert 的助理)

1910年，Courant 接到服役的命令。這時他和 Nelly Neumann 的友情已經昇華為愛。他希望再服役結束後，他能在哥廷根成為 Privatdozent，那他們就可以結婚了。

在入伍前夕，Courant 決定開始寫日記，一方面是為了自我訓練，另一方面是為了自我改進。在進入軍中之後，他發現他很能適應軍旅生活，雖然他的同僚都不是學者，大多是鄉下來的農夫，但他們總能相處愉快。甚至，他覺得自己可能，比起學者，更適合當一位士兵。

不過儘管如此，他還是想回哥廷根，軍旅生活並不會增進他的學術經歷，他總是盡可能的回到哥廷根，尋找回到大學的機會。在這段期間，他都在考慮就業問題，雖然有些學校邀請他，但他還是想待在哥廷根。所以他一直拖延回信，直到哥廷根同意給他 Habilitation 的職位，他才立刻寫信回絕其他的任職邀請。

在卸職和回到哥廷根之間，他和 Nelly 訂婚了。


這段期間，Courant 保留的信只有一封，是寄給 Nelly 的信。會保留這封信是為了歷史意義，這封信是在他進入了哥廷根學術圈時而寫。裡頭談到了哥廷根的生活、哲學圈和他提出 Habilitation 碰到的問題。

他們希望 Courant 能發表更多論文表現他的能力，於是 Courant 回到了 Dirichlet principle，提出了論文。取得了這個職位，並且 Nelly 結婚了。


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筆記

說到筆記方法，華人中最有名的一段話應該是華羅庚所說的：

首先是「由薄到厚」.比如學一本書，每個生字都查過字典，每個不懂的句子都進行過分析，不懂的環節加上了註解，經過這一番工夫之後，覺得懂多了，同時覺得書已經變得更厚了.有人認為這樣就算完全讀懂了.其實不然.每一章每一節、每一字每一句都懂了，這還不是懂的最後形式.最後還有一個「由厚到薄」的過程，必須把已經學過的東西咀嚼、消化，組織整理，反覆推敲，融會貫通，提煉出關鍵性的問題來，看出了來龍去脈，抓住了要點，再和以往學過的比較，弄清楚究竟添了些什麼新內容、新方法.這樣以後，就會發現，書，似乎「由厚變薄」了.經過這樣消化後的東西，就容易記憶，就能夠得心應手地運用.(華羅庚，《和青年談學習》)

但是筆記不只可以用在學習，也可以用在研究。在《約翰惠勒自傳》裡，也有這麼一段

1948年到1949年，我在研究、教學、寫作以及提供顧問服務的繁忙工作中也會抽空從事夢想 --- 通常是在家中，坐在舒服的椅子上，膝上則擺著一疊筆記紙。有時候我也會在房間裡踱步並高聲發言(後來我受到費米的身教及洛塞勒摩斯的舊規矩影響，我開始將我的想法寫在筆記簿裡，到現在，我已經寫了39本筆記簿。)
(約翰惠勒，第八章，《核分裂之後的物理學》，我的夢想)

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分子生物學與物理學

很久以前我曾經讀過，量子力學之後因為物理的發展已經趨於平緩，所以有一群人開始尋找別的領域投入。而投入生物學界的那些物理學家，就影響了分子生物學的誕生。不過出處我已經忘了。

就我所知，薛丁格的《生命是什麼？》就是一本這樣的書。

《約翰惠勒自傳》裡，也有一段提到了物理學家對分子生物學的影響。

波耳察覺到基本物理學在分子生物學與基因學領域裡所能扮演的角色，因此早就鼓勵指引德爾布呂克(Max Delbruck)從事探索這個新的方向，實際上在哥本哈根研究院裡，這個領域與其他研究項目的關聯性相當疏遠。如果不是由於波爾的智慧，一般人很可能會認為從事生物物理學根本就是逆勢而行。第二次世界大戰結束之後，德爾布呂克來到加州理工學院，並待在那裡直到1977年退休為止。他於1969年獲得諾貝爾獎。(第六章，《物理學的國際家庭》，物理學的國際家庭)

不過所謂分子生物學，他們的分類似乎跟研究對象的尺度有關。我還是不太懂物理學家相關的貢獻。


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[Courant] Chapter 3

Courant in Gottingen and New York: The Story of an Improbable Mathematician
By Constance Reid
Book / 314 Pages / Springer-Verlag / January 1976 / 0387901949

很久以前的計畫，在清華數學系圖看到同一本書才想起來.....XD

這個時期的哥廷根對年輕的 Courant 來說充滿數學上的刺激，即使在課堂之外，學生們也熱切的討論數學。這一切似乎是因為 Hilbert 所致。Hilbert 除了是一位偉大的數學家外，他對數學的熱情和高瞻遠矚影響了整個時代。

七年以前，也就是 1900 年，Hilbert 提出了著名的 23 道問題激勵數學家的研究。此外，Courant 也忘不了即使在45個高齡(對數學家來說)，Hilbert 還努力學習物理的模樣。

Courant 和 Hilbert 初遇在一堂糟糕的講課上，Hilbert 是個差勁的講員，常常掛在黑板上講不下去。然而 Courant 慢慢發現，每當 Hilbert 掛在黑板上時，他會重頭開始思索哪裡搞錯了，一步步地釐清觀念。雖然這樣的講課方式並不是那麼流暢易懂。然而，他的清晰而富原創性的思路進一步探索了該門學科。這是其他任何擅於授課的老師所做不到的。而 Hilbert 的研究方式也讓 Courant訝異，Hilbert 並不把自己隔離起來，而是盡可能的和人討論，只要你有料，不論你的年齡、地位、領域差距多大他都不在乎，都樂意和你討論。這樣的 Hilbert 身邊當然吸引了一堆學生，而 Courant 自認，當年 Hilbert 要找人取代 Haar 的助理位置時挑上了他，可能是他一生中最幸運的事。

那是個令人興奮的時期，Hilbert 打算攻下 Warning's theorem。身為他的助理，Courant 常常與 Hilbert 接觸，他發現 Hilbert 雖然課講的很爛，但是卻花很多時間備課。而他的工作就是協助 Hilbert 處理文件，包含授課的草稿，課後的內容整理，還有期刊的稿件審核。不過不幸的是，Hilbert 的摯友 Minkowski 卻在西元 1909 年 1 月 12 日去世了，得年只有 45 歲。

而同年另一位哥廷根數學圈的要角 Walther Ritz 也在不聽醫生勸告下，過度投入工作而死，得年僅有31歲。他的論文利用 Hilbert 在 Dirichlet's principle 上的工作去發展微分方程邊界值問題的數值方法。這點給了 Courant 很深的印象，即純理論研究也能有助於實務應用的研究。

對於 Courant 未來的發展上，有一點是很重要的，那就是哥廷根的教授們，幾乎沒有只專精一個領域的。Minkowski, Hilbert, Klein 都對物理很有興趣，還有其他的物理學家，其實也非常的擅長於數學研究，這種理論於實務的交融，儼然成為哥廷根與眾不同的傳統，深深影響了 Courant.

在 Courant 擔任 Hilbert 助理的期間，Poincare 曾經來到哥廷根講學，Hilbert 把自己的助理借給了 Poincare，於是 Courant 在兩位當代最偉大的數學家手下做過事。雖然這兩位都是才智驚人的數學家，但是兩者之間並沒有燃起像 Hilbert 和 Minkowski 之間的火花。日後 Courant 評論到，在數學上 Poincare 無疑是極為優秀的，但是 Hilbert 不同，他能夠把自己的熱情放射出去感染大家，這點 Poincare 就做不到。

比起 Hilbert，Klein 和 Courant 更為相似，雖然他們在外貌和性格上差異很大，但是在數學上卻有很大的共同點。譬如他們都對 Riemann 感到十分欣賞和同情。Courant 後來甚至認為，Klein 在數學上最持久的貢獻就是為哥廷根的數學家開啟了 Riemann 的研究的了解。Klien 很早掌握了 Riemann 的研究的概念，但是當時他們手邊的技巧尚且無法解決這樣的問題，直到 Riemann 的出現。Courant 評論道：Riemann 的成就可能還要歸功於他的早逝，即使他活得更久，也未必能再推進他的理論。

即使 Courant 和 Klein 在數學上有相似之處，他卻被 Hilbert 吸引，選擇了 Hilbert 作為他博士論文的指導教授。如果 Courant 來到哥廷根時 Hilbert 的研究興趣不是集中在分析之上，或許 Courant 就會變成 Klien 的學生。

Hilbert 給他的題目，正好符合了 Courant 的數學上的特質 -- Dirichlet's principle*。

Ref:Richard Courant


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Topology

拓樸很難。我上次搞不清楚狀況跑去清華數學所聽演講時，聽到教授說他認為搞拓樸的人都很天才，他年輕時的博士論文，有些問題解不出來，後來某位拓樸學家跳進來一下突破了這個問題，然後又跳出去別的領域了，讓他印象深刻。

可見得拓樸很難。

不過我要抱怨的是點集拓樸，可能程度上又低了很多級。

如果問 Topology 是什麼，可能很直接的回答是，『拓樸學是研究在連續變換下不變的性質!』

不過這麼直接的回答通常是有看沒有懂。不過我想，概略的說，拓樸就是歐基里德空間去掉距離的概念。據 M. Armstrong《Basic Topology》一書的談法，他是從歐基里德空間抽象化推導出拓樸空間的定義。雖然我一點也不懂他是怎麼推出來的，我只覺得他是憑空生出來的。(光只是去掉距離的概念就好抽象喔，唉唉。)

譬如高等微積分裡的 neighborhood，我們是在 metric space 下定義的，d(p,x) < ε。可是在拓樸裡，應為要去掉距離關係，所以不能用這樣的概念定義。而改說，拓樸空間裡，包含 x 的空集合 U 為 x 之 neighborhood。而 limit point 的概念，則改為拓樸包含x 的元素去掉 x 之後和 A 的交集不為空集合，則 x 為 A 的 limit point。

如果說依照 M. Armstrong 的說法來看，I. M. Singer, J. A. Thorpe 的《Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry》的說法不管是定義的方式或者是採取的角度就比較接近從分析出發，一下就講到 limit point。


比較起來 James Munkres 的《Topology》就比較從集合論的角度去講，Order Topology、Product Topology 什麼的，等到提到 limit point 時，差不多一百頁左右了。

而且他的附圖我也看不懂，Order Topology 為什麼長那樣？有什麼意思？真是令我困惑.....。



或許這樣才是比較拓樸的講法吧？


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