數學結構與變換

Ref.: 方程式求解問題, 康明昌

但是一般方程式沒有根式解，並不表示所有的數字方程式都沒有根式解。事實上，方程式 2x5+5=0 有根式解，但是 2x5-10x+5=0 沒有根式解。法國數學家 Galois 在1832年提出任意（數字或文字）方程式有根式解的充分必要條件。Galois 把方程式求解問題轉化成置換群 (permutation group) 的問題。他在繁複的計算中洞見方程式求解的本質。

本節的定理來自 Galois 的論文〈Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux〉（1831年1月17日）與 Galois 給友人的信〈Lettre à Auguste Chevalier〉（1832年5月29日）。大部分的定理都沒有證明，因為我們不想寫一本 Galois 理論的課本，我們的目是介紹 Galois 理論的精神。有興趣的讀者不妨參考以下兩本書：H.M. Edwards,《Galois theory》與 E. Artin,《Galois theory》。在 Artin 的書，體的擴張與體的自同構群是 Galois 理論的核心，學生幾乎看不到有人在解方程式，預解式與預解形也消失了；這是一本典型的近世代數的課本，用近世代數的手法來介紹 Galois 理論。

Galois 理論的意義至少有兩個。第一，如果把體的結構的問題比做一座高山，從某個角度來看（體的角度）簡直是懸崖峭壁，無處攀援，從置換群的角度來看，山窮水盡之餘卻是柳暗花明的世界。這種處理數學問題的手法，以後一再的被數學家借鏡。第二，Galois 理論開創了群論 (group theory) 的研究。並且 Galois 的經驗告訴數學家，研究某個數學結構（集合、群、環、體、向量空間、拓樸空間、微分流型）的變換群 (transformation group)，經常有助於瞭解這個數學結構，這就是表現理論 (representation theorey) 何以如此重要的原因。

1870年，當 Jordan 完成他的「置換論」不久，有兩個外國學生來到巴黎。一個是德國人 Felix Klein（1849～1925），一個是挪威人 Sophus Lie（1842～1899）。他們立刻成為好朋友，他們也立刻認識到「群」的重要性。

Lie 想用類似 Galois 的方法去研究微分方程式，結果他得到 Lie 群 (Lie groups)。所謂 Lie 群，是一種連續的變換群(continuous transformation group)。 Lie 一生研究這種群的結構與其不變量。Lie 群在微分幾何學、量子力學、常微分方程式與偏微分方程式的研究都扮演非常重要的角色。

Klein 把「群」的概念應用到線性微分方程式與 Abel 函數的研究。他提出一個構想，他認為，不同的幾何學其實只是不同的變換群的不變量的研究。例如，歐氏幾何是研究距量群 (metric groups) 的不變量，射影幾何是研究射影群 (projective groups) 的不變量。這就是 Klein 有名的 Erlangen 綱領 (Erlangen program)。

Galois 理論的方法論對於數學家是一個很好的啟示。拓撲學家研究覆蓋面 (covering spaces) 與基礎群 (fundamental groups) 的關係，其結果正好和子體與 Galois 群的關係相彷彿。Liouville 用 Galois 的手法研究微分方程式，這個方向成為線性代數群 (linear algebraic groups) 的一個來源。

很久已就看過這篇文章，剛巧今天又看到，於是重讀了一下。

我同學問我說我是不是很喜歡數學，其實不是，我還蠻不喜歡數學的。但是我一直對數學的奧妙感到好奇，為什麼僅僅只是定義一些簡單的數學結構就會產生那麼多的性質呢？我真正覺得數學有意思是學代數的時候，其實有機會的話我也想多學一點。


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